上周三老板和艾萨鸽了,但是我们还是照常进行了讨论,然后讨论的主要内容很让我意外地落回了各种数学细节里,可能是本科生不在,我们都不好意思形而上的缘故吧。
疾病传播的朗之万方程——随机指数传播
两个要点:
- 在有随机项的情况下,\(d[log(x(t))] \neq (1/x)(dx/dt)\)
- 前面 Ito formula 里面的 \(a\), \(b\) 和后面 \(a=\mu+\sigma\xi(t)\) 里的 \(a\) 容易弄混。
维纳过程 (Wiener process)
讨论过程中他们问我有什么问题,我当时正在走神(呃),于是随口问了一句:讲义第4页左侧的式子为什么等于零……老实把表达式展开就知道,是后面一项 \(\left<W_{t_{j+1}}-W_{t_{j}}\right>=0\)
讲义中维纳过程是作为第一讲中的高斯噪音的积分出现的,也就是:\(dW(t)=\xi(t)dt\),其中高斯噪声满足以下两个条件:
- (1). \(\left<\xi(t)\right>=0\)
- (2). \(\left<\xi(t_1)\xi(t_2)\right>=\delta(t_2-t_1)\)
但是维基百科中的介绍是直接定义了维纳过程本身,它应该是满足如下三个条件的随时间改变的随机变量 \(W(t)\):
- (1). \(W(0)=0\)
- (2). 映射 \(t\mapsto W(t)\) 在正实数轴上几乎处处连续
- (3). 对于两个不重叠的时间段 \(0 \leq s_1 < t_1 \leq s_2 < t_2\), \(W(t_1-s_1)\) 和 \(W(t_2-s_2)\) 独立,\(W(t-s)\sim N(0,t-s)\)
这两种定义等价吗?好像是,没仔细想。不过维纳过程的存在是为了对布朗运动进行建模,布朗运动可以看作随机行走在步长趋近于0时的极限;在一年级学过的数学物理方法里,扩散方程的解也可以看作随机行走者经过时间t之后在不同位置出现的概率,也是取步长为0的极限。所以 \(\xi(t)\) 似乎 可以导出 \(W(t)\),甚至可以不要求 \(\xi(t)\) 具有高斯分布。
以上似乎有类比谬误的嫌疑,而且假如思路正确的话,会引出一个新的问题——扩散方程的推导来自 Fick 定律,这个过程在何处引入了对随机变量在时间上的积分?
好吧,扯完了之后发现了这个链接:http://physicallensonthecell.org/advanced-diffusion-and-fokker-planck-picture
随机变量 vs. 时间变量
对于 \(\xi(t)\) 函数的第二条性质,我在草纸上顺手写了如下等式:
\[\left<\xi(t)\xi(t')\right>=\delta(t-t')=\frac{\int_{start}^{end}\int_{start}^{end}\xi(t)\xi(t')dtdt'}{\int_{start}^{end}\int_{start}^{end}dt\ dt'}\]但是实际上,此处的 \(\left<\right>\) 应该是随机变量的期望值,也就是
\[\left<\xi(t)\xi(t')\right>=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_1 x_2 p(\xi(t)=x_1,\xi(t')=x_2)dx_1dx_2\]跟 t 没什么关系。在平衡态统计中,系综满足 ergodicity,两者应该是相等的。但在非平衡态下没有这种保证。
随机变量说是变量,实际上需要一个函数来描述,而这个函数的“自变量”是这个随机变量的所有可能取值,这个函数的输入和输出变量之间不是因果关系,这究竟是哥本哈根学派战胜隐变量理论的过人之处,还是新的隐变量理论可能的突破口呢?再往下胡扯存在被当成民科的可能,暂且打住。
主方程解得指数分布:随机变量的特征函数 (characteristic function in probability theory)
讲义第 9 页掉落了一件重要装备——解为指数分布的主方程:
\[\frac{d}{dt}p(n,t) = \lambda \left[p(n-1,t)-p(n,t)\right]\]上面说随机变量需要用一个函数来描述,但是究竟用哪个函数,却可以有多种选择。最直观的就是中学就学的,离散变量的概率分布函数和连续变量的概率分布密度函数。好处是意思直观,缺点是对于离散变量和连续变量需要分别讨论,两种函数的量纲不同,概率密度的量纲等于随机变量量纲的倒数。
为了统一量纲,所以有了累积分布函数,对离散和连续变量 \(X\) 的定义都是一样的:\(F(x)=prob(X<x)\)。离散变量的概率分布函数是累积分布函数的差分 (difference),连续随机变量的概率密度则是累积分布函数的微分 (differential)。
在本节第 9 页的例子里,给出了第三种函数——特征函数,对于一个随机变量 \(X\) 与其所有的可能取值 \(x\),特征函数引入新的自变量 \(s\),由 \(e^{isX}\) 的期望值给出,也就是说,特征函数是对随机变量的一个 变换。
\[G_X(s) = \left<e^{isX}\right> = \sum_x prob(X=x)e^{ixs}\]因为指数函数的导数还是指数函数,所以在微分方程里很有用,下面也确实是这么用的。用变换解微分方程的套路,上一节已经遇到了,只不过研究的是动力学,总是拖着一个并未参战的 \(t\),而且笔记里的形式参数和实际参数并不明确,要是在 C 语言里这么写,是会被测试打死的: \(G(s,t)_{[笔记里的写法]}:=G_{N或者n[被变换的随机变量]}(s_{[特征函数真正的自变量]},t_{[时间,打酱油的]})\)
福克-普朗克方程 (Fokker-Planck equation)
第 10 页,Kramers-Moyal 展开的写法是:
\[\partial_tp(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\partial_x^n\alpha_n(x)p(x,t)\]维基百科上的写法是
\[\partial_tp(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\partial_x^n\left[\alpha_n(x)p(x,t)\right]\]从后一页的算式来看应该是后者,前者写法不规范。